Question

1．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（　　）

• A． 3.5
• B． 3
• C． 2.5
• D． 2

Answer 1

分析 设⊙O′的半径为r，BC=x，可证明BC²=BH•BA，连接O′F，在Rt△OO′F中由勾股定理可得到r关于x的二次函数，再利用二次函数的性质可求得BC的长．

解答 解：设⊙O′的半径为r，BC=x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
又AB⊥CD，
∴BC²=BH•BA=6（BF-FH）=6（BF-r），
如图，连接O′F，OO′，
∵AB为⊙O′的切线，
∴△OO′F为直角三角形，
∴O′O²-O′F²=OF²，
∴（3-r）²-r²=（BF-3）²，
∴BF²=6（BF-r），
∴BC=BF，
∴BC²=6（BC-r），即x²=6（x-r），
∴r=-$\frac{1}{6}$x²+x=-$\frac{1}{6}$（x-3）²+$\frac{3}{2}$，
∴当x=3时，⊙O′的半径取得最大值，
即BC的长为3，
故选B．

点评 本题主要考查切线的性质及圆与圆的位置关系、直角三角形的性质、二次函数的性质等知识的综合应用．由条件证明BC=BF，从而找到BC与⊙O′的半径的函数关系式是解题的关键．注意方程思想的应用．