Question

14．如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+4x-6$与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线对称轴与x轴相交于点M，
（1）求△ABC的面积；
（2）若p是x轴上方的抛物线上的一个动点，求点P到直线BC的距离的最大值；
（3）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），当∠PCB=∠BCA时，求直线PC的解析式．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可得点C坐标，令y=0，可得点A、B坐标，再结合三角形面积公式，即可得出结论；
（2）找与直线BC平行且过动点P的直线，令此直线与抛物线相切，看切点P是否在x轴上方，如果在，则切点P到直线BC的距离就是所求最大距离，若不在，只需考虑端点A、B到直线BC的距离即可；
（3）过点A作AE⊥BC与点E，并延长AE交直线CP与点D，巧妙利用等腰三角形的三线合一，找出AD、CD的长度，根据两点间的距离公式即可得出结论，不过此处要注意到会产生增根．

解答 解：（1）令y=0，则有-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x-6）=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
即点A（2，0），点B（6，0）．
令x=0，则y=-6，
即点C（0，6）．
∴AB=4，CO=6．
△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=$\frac{1}{2}$×4×6=12．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（6，0），点C（0，-6），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=6k+b}\\{-6=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-6．
设经过动点P且平行于直线BC的直线解析式为y₁=x+a．
将y₁=x+a代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6中得：$\frac{1}{2}$x²-3x+6+a=0，
若直线y₁=x+a与抛物线相切，则有：
△=（-3）²-4×$\frac{1}{2}$×（6+a）=0，即3+2a=0，
解得：a=-$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-3x+6-$\frac{3}{2}$=0，即x²-6x+9=0，
解得：x=3，
将x=3代入y₁=x-$\frac{3}{2}$，得y₁=$\frac{3}{2}$，
∴此时P点坐标为（3，$\frac{3}{2}$）在x轴上方．
∵直线BC的解析式为x-y-6=0，
∴点P到直线BC的距离=$\frac{|3-\frac{3}{2}-6|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
故点P到直线BC的距离的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）过点A作AE⊥BC与点E，并延长AE交直线CP与点D，如图所示．

∵点A（2，0），点B（6，0），点O（0，0），点C（0，-6），
∴AB=4，OA=2，OC=6，OB=6．
由勾股定理可知：AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=2$\sqrt{2}$．
∵∠PCB=∠ACB，且BC⊥AD，
∴CD=CA=2$\sqrt{10}$，DE=AE=2$\sqrt{2}$（等腰三角形三线合一），
∴AD=AE+DE=4$\sqrt{2}$．
设点D坐标为（m，n），
则由两点间的距离公式可知，
$\left\{\begin{array}{l}{（m-0）^{2}+[n-（-6）]^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}}\\{（m-2）^{2}+（n-0）^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{18}{5}}\\{n=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=-4}\end{array}\right.$．
即此时点D的坐标为（6，-4）．
设直线CP的解析式为y=k₁x-6，将D点坐标代入得：
-4=6k₁-6，解得：k₁=$\frac{1}{3}$．
∴若点P在抛物线上运动（点P异于点A），当∠PCB=∠BCA时，直线PC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-6．

点评 本题考查了三角形的面积公式、两点间的距离公式、等腰三角形的性质以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）牢记三角形面积公式；（2）利用相切法求极值；（3）利用三线合一找到直线CP上除C点外的另一点的坐标．本题属于中档题型，（1）、（2）难度不大，（3）有点难度，由于初中生没有学习过夹角公式，所以只能借助特殊三角形或者三角形全等来解决该类问题．