Question

8．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．若AE为△ABC的中线，CF⊥AE，垂足为M，交AB于F点，求证：
（1）AE-EF=CF；
（2）AF=2BF．

Answer 1

分析 （1）作BN⊥BC交CF的延长线于N，先证明△ACE≌△CBN得EC=BN=EB，再证明△BFE≌△BFN得EF=FN，根据线段和差定义即可解决．
（2）由AC∥BN得$\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=2，即可证明．

解答 （1）证明：作BN⊥BC交CF的延长线于N．
∵∠ACB=∠CBN=90°，
∴∠CAE+∠ACM=90°，∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠CAE=∠NCB，
在△ACE和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCN}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBN，
∴CE=BN=EB，AE=CN，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，∵∠CBN=90°，
∴∠CBA=∠ABN=45°
在△FBE和△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=BN}\\{∠EBF=∠NBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BFN，
∴EF=FN，
∴AE-EF=CN-FN=CF．
（2）由（1）可知BN=EC=EB，
∵AC=BC，
∴AC=2BN，
∵∠ACB+∠CBN=180°，
∴AC∥BN，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=2，
∴AF=2BF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．