Question

13．【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？
【探究一】若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成个大正方形．
请你用9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形．（如图正方形）
【探究二】若n=2、5、10、13等，这些数，都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：2=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$；5=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$．
解决方法：以n=5为例
（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为$\sqrt{5}$；
（2）剪切：如图1，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；
（3）拼图：以图1中的虚线为边，拼成一个边长为$\sqrt{5}$的大正方形，如图2．
请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形．
（1）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为$\sqrt{13}$；
（2）剪切：请画出剪切的图形；
（3）拼图：请画出拼成的图形；
【问题拓展】如图3，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．
请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．
（1）计算：拼成的大正方形的面积是a²+b²，边长为$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$；
（2）剪切：请在图3中完成；
（3）拼图：请画出拼成的图形．

Answer 1

分析 探究一：由大正方形的面积计算出边长，从而可画出图形；
探究二：将13正正方形分割为1个边长为1的正方形和4个两直角边分别为2和3的直角三角形即可；
探究三：将两个正方形分割为1个边长为（a-b）的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可．

解答 解：探究一：∵9个边长为1的正方形的面积为9，
∴所拼成的正方形的边长为3．
所拼图形如图所示：

探究二：（1）$\sqrt{13}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$；
（2）如图所示：

（3）拼成的图形如图所示：

探究三：（1）计算：拼成的大正方形的面积是a²+b²，边长为$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$；
（2）如图4所示：

（3）拼成的图形如图5所示：

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质，正方形的面积公式、勾股定理，能够将所给图形分割为1个正方形和4个直角三角形是解题的关键．