Question

4．如图，CE=GF，AC=BC，∠ACB=90°，D是中点，DG⊥AC，FH⊥FC．
（1）求证：DG=DC；
（2）判断FH和FC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）欲证明DG=CD，因为AD=DC，所以只要证明AD=DG即可．
（2）欲证明FH=FC，只要证明△GFH≌△EFC即可．

解答 （1）证明：∵AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DG⊥AC，
∴∠ADG=90°
∴∠AGD=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠AGD，
∴DG=AD，
∵AD=DC，
∴DG=DC．
（2）解：∵DG=DC，FG=EC，
∴DF=DE，
∵∠FDE=90°，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∴∠FEC=180°-∠DEF=135°，
∵∠AGD=45°，
∴∠FGH=180°-∠AGD=135°，
∴∠FEC=∠FGH，
∵FH⊥FC，
∴∠HFC=90°，
∴∠GFH+∠DFC=90°，
∵∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠GFH=∠FCE，
在△GFH和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGH=∠FEC}\\{FG=EC}\\{∠GFH=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△GFH≌△ECF，
∴FH=FC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明∠FGH=∠FEC=135°，属于中考常考题型．