Question

16．如图，已知△ABC≌△A′B′C′．
（1）如图①，若AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的对应中线，求证：AD=A′D′．
（2）如图②，若AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的对应高线，求证：AE=A′E′．
（3）如图③，若AF，A′F′分别是△ABC和△A′B′C′对应角平分线，求证：AF=A′F′．

Answer 1

分析 （1）首先由△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质得出AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，再由中线的定义可得BD=B′D′，再利用ASA定理证明△ABD≌△A′B′D′可得AD=A′D′；
（2）首先由△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质得出AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，再由高线的定义可得∠BAE=∠B′A′E′，再利用ASA定理证明△ABE≌△A′B′E′可得AE=A′E′．
（3）首先由△ABC≌△A′B′C′，根据全等三角形的性质得出AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，再由角平分线的定义可得∠BAF=∠B′A′F′，再利用ASA定理证明△ABF≌△A′B′F′可得AF=A′F′．

解答 证明：（1）∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′
∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，B′D′=$\frac{1}{2}$B′C′，
∴BD=B′D′．
在△ABD和△A′B′D′中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=A′B′}\\{∠B=∠B′}\\{BD=B′D′}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），
∴AD=A′D′；
（2）证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB=A′B′，∠B=∠B′，
∵AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的对应高线，
∴∠BEA=90°，∠B′E′A′=90°，
∴∠BDA=∠B′D′A′．
在△ABE和△A′B′E′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠B′E′A′}\\{∠B=∠B′}\\{AB=A′B′}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△A′B′E′（ASA），
∴AE=A′E′．
（3）证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，
∵AF和A′F′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B′A′F′=$\frac{1}{2}$∠B′A′C′，
∴∠BAF=∠B′A′F′．
在△ABF和△A′B′F′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠B′A′F′}\\{AB=A′B′}\\{∠B=∠B′}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△A′B′F′（ASA），
∴AF=A′F′．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得出AB=A′B′，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′是解题的关键．