Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点.

（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、

A、E，连接CE.

①依题意，请在图2中补全图形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长

（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，

AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；

（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.

解：（1）①补全图形如图所示；

②如图，连接BD、CD

∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC=AD，

∵∠ACB=90°，

∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，

∵BP=3，∴DE=BP=3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中， ；

（2）证明：如图所示，

当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小

由旋转可得，△AMN≌△APB，

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等边三角形，

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中，易得

∴在Rt△BCN中，

“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.