Question

11．如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A（3，0），反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB₁C₁D₁，且B₁恰好落在x轴的正半轴上，此时边B₁C₁交反比例图象于点E，则点E的纵坐标是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出OD的长，再过点C作CF⊥y轴于点F，根据ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C点坐标，求出k的值，再求出OH的长，进而可得出E点坐标．

解答 解：∵Rt△AOD中，OA=3，AD=5，
∴OD=$\sqrt{{AD}^{2}-{OA}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠ADO，
同理，∠CDF=∠DAO，
在△CDF与△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DCF=∠ADO\\ CD=AD\\∠CDF=∠DAO\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF=OD=4，DF=OA=3，
∴C（4，7）．
∵反比例函数y=图象经过点C，
∴k=4×7=28，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{28}{x}$．
∵OH=OA+AH=3+5=8，
∴点E的横坐标为8，
∴y=$\frac{28}{8}$=$\frac{7}{2}$，
∴点E的纵坐标是$\frac{7}{2}$．
故选C．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．