Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：延长CA至点D，使AD=BC，再由正方形的性质得出∠AOB=90°，由∠ACB=90°可知∠AOB+∠ACB=180°，由四边形内角和定理可知∠CAO+∠CBO=180°，故可得出∠CBO=∠DAO，由SAS定理可得△COB≌△DOA，故∠COB=∠DOA，OC=OD，由此可得出△COD是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出OC的长．

解答：解：延长CA至点D，使AD=BC=5，
∵四边形ABEF是正方形，
∴∠AOB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠CAO+∠CBO=180°，
∴∠CBO=∠DAO．
在△COB与△DOA中，

AD=BC ∠DAO=∠CBO OA=OB

，
∴△COB≌△DOA，
∴∠COB=∠DOA，OC=OD，
∴∠COD=90°，
∴△COD是等腰直角三角形．
∵CD=AC+AD=3+5=8，
∴OC=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．