Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF，②△ABE≌△ACD；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²，其中正确的是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE²+DC²=DE²是正确的．

解答：解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△AED和△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴ED=FE
△ABE与△ACD是否全等无法确定，故②错误；
同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴在Rt△FBE中BE²+BF²=FE²．
即④成立．
故正确的有①④，②③不一定正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查的知识点较多，有图形的旋转变换、图形的全等、图形的相似、勾股定理等知识点，通过判断可知①④是正确的．