Question

等腰Rt△ABC中，CA=CB，∠CAB=90°，∠ABC=∠ACB=45°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；

（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则可利用“AAS”证明△ACH≌△BAO，得到CH=OA=1，AH=OB=2，可计算出OH=1，于是得到C点坐标为（-1，-1）；
（2）作CF⊥AC交y轴于F，如图2，先证明△ACF≌△BAD，得到AD=CF，∠AFC=∠ADB，再证明△CDE≌△CFE得到∠CDE=∠CFE，则∠ADB=∠CDE．

解答：（1）解：作CH⊥y轴于H，如图1，
∵A（0，1），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
∵∠CAB=90°，即∠1+∠2=90°，
∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ACH和△BAO中，

∠AHC=∠BOA ∠1=∠3 AC=BA

，
∴△ACH≌△BAO（AAS），
∴CH=OA=1，AH=OB=2，
∴OA+OH=2，
∴OH=1，
∴C点坐标为（-1，-1）；
（2）证明：作CF⊥AC交y轴于F，如图2，
由（1）可得∠1=∠2，
在△ACF和△BAD中，

∠1=∠2 AC=BA ∠ACF=∠BAD

，
∴△ACF≌△BAD（SAS），
∴AD=CF，∠AFC=∠ADB，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD，
∴CD=CF，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCE=45°，
在△CDE和△CFFE中，

CD=CF ∠DCE=∠FCE CE=CE

，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠ADB=∠CDE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质和坐标与图形性质．