Question

（1）如图①所示，已知C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边长在AB的同侧作等边△ADC和△CBE，连接AE和DB，证明：AE=DB；
（2）如图②所示，当等边△CBE绕点C旋转后，证明AE=DB仍成立；
（3）在图①中，设CD交AE于点M，CE交BD于N，则△CMN也是等边三角形，请证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）AE=BD，理由为：由三角形ACD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△ACE≌△DCB，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）结论仍然成立，理由为：由三角形ACD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△ACE≌△DCB，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（3）根据（1）中求得△ACE≌△DCB，可得∠BDC=∠EAC，然后有∠ACD=∠BCE=60°，得出∠DCN=60°，AC=DC，可证明△DCN≌△ACM，得出CN=CM，最后即可证明△CMN也是等边三角形．

解答：解：（1）AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（2）结论仍然成立，即AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

（3）∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCN=180°-60°-60°=60°，
在△DCN和△ACM中，

∠NDC=∠MAC DC=AC ∠DCN=∠ACM=60°

，
∴△DCN≌△ACM（ASA），
∴CN=CM，
∵∠DCN=60°，
即△CMN是等边三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．