Question

如图，已知⊙O的直径AB=8，半径OC⊥AB，且OC是⊙O₁的直径，⊙O₂分别与⊙O内切，与⊙O₁外切，与AB相切．
（1）求证：⊙O₁分别与AB、⊙O相切．
（2）求⊙O₂的半径长．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：（1）证明O₁O⊥AB，且O₁O=λ-μ，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明OO₂=4-μ，O₁O₂=2+μ；O₂M⊥OB；证明PO=O₂M=μ，O₁P=2-μ；证明（2+μ）²=（2-μ）²+（4-μ）²-μ²，求出μ的长，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，设⊙O、⊙O₁的半径分别为λ、μ；
O₁O⊥AB，且O₁O=λ-μ，
∴⊙O₁分别与AB、⊙O相切．
（2）如图，连接O₁O₂、OO₂；过点O₂作O₂P⊥OC；连接O₂M；
∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O两两相切，
∴OO₂=4-μ，O₁O₂=2+μ；O₂M⊥OB；
∴四边形OMO₂P为矩形，
∴PO=O₂M=μ，O₁P=2-μ；
由勾股定理得：O2P2=(4-μ)2-μ2；
而O1O22=(2-μ)2+O2P2，
∴（2+μ）²=（2-μ）²+（4-μ）²-μ²，
解得：μ=1，即⊙O₂的半径长为1．

点评：本题主要考查了相切两圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形；灵活运用相切两圆的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．