Question

如图，等边△ABC中，点M是BC上一点，点N是CA上一点，且BM=CN，AM与BN相交于Q点．
（1）求证：AM=BN．　　
（2）求证：∠BQM=60°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质求得∠ABC=∠ACB=60°，再由SAS证明△ABM和△BCN全等即可；
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠BAM=∠NBC，利用三角形的外角和定理可得∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，所以∠BQM=∠ADN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM=BN；

（2）证明：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠AQN=∠ABQ+∠BAQ，
∴∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠NBM=∠ABC=60°．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．