Question

如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．

（1）如图1，判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）如图2，若点B、C关于y轴对称，连接BC，交y轴于点K
①求证：AG=BG；
②观察，你发现∠AOB=

 

（直接写出结论，不需证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定与性质,轴对称的性质,平行线分线段成比例

专题：

分析：（1）利用已知条件可证明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；
（2）①由已知可得BK=KC，因为AC∥y轴，可得GA=GB；
②接连BC，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，易证△COD≌△BOE（HL），设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性质和已知条件证明∠AOB=∠ACB=90°．

解答：解：（1）△AOG的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵AC∥y轴，
∴∠CAO=∠GOA，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GOA=∠GAO，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）①证明：∵点B、C关于y轴对称，
∴BK=KC，
∵AC∥y轴，
∴GA=GB；
②如下图，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵B、C关于y轴对称，AC∥y轴，
∴AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，
 

DO=OE CO=BO

，
∴△COD≌△BOE（HL），
∴∠DCO=∠EBO，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴2x+∠BOC=180°，
又∵2y+∠BOC=180°，
∴x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴∠AOB=∠ACB=90°．

点评：本题考查了角平分线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，题目的综合性强，解题的关键是正确添加辅助线．