Question

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，求证：DC=DF；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点F作FG∥BC，交AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系式是

 

；（不需要证明）
（3）如图3，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交AB的延长线于点G，则FG、DC、AD之间满足什么样的数量关系，并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）本题可采用截取的方法，先证明AF=GF，只要再证明DF=CD即可，这只要证明这两条线段所在的三角形全等即可；
（2）结合（1）及图形我们可猜测出：FG=DC+AD；
（3）证法同（1），先证△FDB≌△CDA，得DC=DF，进而可得出FG=DC+AD的结论．

解答：（1）证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°；
∴AD=BD；
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°；
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC；
∵∠FDB=∠CDA=90°，
∴△FDB≌△CDA；
∴DF=DC；
（2）解：FG=DC+AD．
（3）FG=DC+AD；
证明：∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD=AD，FG=AF=AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，
∴∠DFB=∠DCA；
又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
在△BDF和△ADC中，

∠DFB=∠DCA ∠BDF=∠ADC BD=AD

，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF=DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．

点评：此题考查的是等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质；通过全等三角形证得CD=DF是解答此题的关键．