【题目】在ABCD中,AF平分∠BAD交BC于点F,∠BAC=90°,点E是对角线AC上的点,连结BE.
(1)如图1,若AB=AE,BF=3,求BE的长;
(2)如图2,若AB=AE,点G是BE的中点,∠FAG=∠BFG,求证:ABFG;
(3)如图3,以点E为直角顶点,在BE的右下方作等腰直角△BEM,若点E从点A出发,沿AC运动到点C停止,设在点E运动过程中,BM的中点N经过的路径长为m,AC的长为n,请直接写出的值.
【答案】(1)BE=3;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)先说明AB=BF,然后再利用等腰直角三角形的性质求解即可;
(2)如图2:连接EF,过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H.设BG=a,FG=b.先利用相似三角形的性质证得EFGF,最后根据解直角三角形求得AB即可;
(3)如图3:在AC上取一点T,使得AT=AB,连接BT,TM,取BT的中点J,连接NJ.
先证NJ//TM,NJ=TM,得到∠BJN=∠BTM=90°,进一步得到点N的运动轨边是线段,最后代入即可.
解:(1)如图1中,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFB
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF,
∴∠BAF=∠AFB,
∴AB=BF=3.
∵AB=AE,∠BAE=90°,
∴BEAB=3.
(2)连接EF,过点G作GH⊥EF交EF的延长线于H.设BG=a,FG=b.
∵AB=AE,∠BAE=90°,BG=GE,
∴AG⊥BE,AG=GB=GE,
∴ABBGa.
∵BF=ABa,
∴BF2=2a2,BGBE=2a2,
∴BF2=BGBE,
∴,
∵∠FBG=∠EBF,
∴△GBF∽△FBE,
∴,∠BFG=∠BEF,
∴EFGFb.
∵∠BAF=∠BFA,∠GAF=∠BFG,
∴∠AFG=∠BAG=45°,∠GAF=∠GEF,
∴∠AGE=∠AFE=90°,
∴∠GFH=45°.
∵GH⊥EH,
∴GH=FHb,
∴EH=FH+EFb,
∴EGb
∴AB=AEGEb,
∴ABGF.
(3)如图3中,在AC上取一点T,使得AT=AB,连接BT,TM,取BT的中点J,连接NJ.
∵△ABT,△BEM都是等腰直角三角形,
∴BTAB,BMBE,∠ABT=∠EBM=45°,
∴,∠ABE=∠TBM,
∴△ABE∽△TBM,
∴,∠AEB=∠BMT.
∵∠AEB+∠BET=180°,
∴∠BMT+∠BET=180°,
∴∠EBM+∠ETM=180°.
∵∠EBM=∠ETB=45°,
∴∠ETM=135°,∠BTM=90°.
∵BJ=JT,BN=NM,
∴NJ∥TM,NJTM,
∴∠BJN=∠BTM=90°,
∴点N的运动轨迹是线段JN,JNTMAE.
∵点E从A运动到C时,AE=AC=n,
∴mn,
∴.
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【题目】我们学过正多边形及其性质,了解了正多边形各边相等、各内角相等、具有轴对称性和旋转不变....下面我们继续探究正五边形相关线段及角的关系:
如图1,正五边形中,
连接,并作,则 度;
连接交于点,求证:四边形是菱形;
如图2,是一个斜网格图, 每个小菱形的较小内角是,请利用一把角尺(只能画直角和直线,不能度量,可以用三角板替代)在网格图中画出以为一边的正五边形(保留作图痕迹).
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【题目】朝阳公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售,经过市场调查发现:日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间是一次函数关系,当销售价格x是10元/千克时,日销售量y是300千克,当销售价格x是20元/千克时,日销售量y是150千克.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)朝阳公司应该如何确定这批产品的销售价格,才能使日销售利润W1元最大?
(3)若朝阳公司每销售1千克这种产品需支出a元(a>0)的相关费用,当20≤x≤25时,公司的日获利W2元的最大值为1215元,求a的值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是_____.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在边OC上,且BD=OC,以BD为边向下作矩形BDEF,使得点E在边OA上,反比例函数y(k≠0)的图象经过边EF与AB的交点G.若AG,DE=2,则k的值为____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)直接写出抛物线的解析式为:;
(2)点为第一象限内抛物线上的一动点,作轴于点,交于点,过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点,,设点的横坐标为.
①求的最大值;
②连接,若,求的值.
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【题目】人类的血型一般可分为A,B,AB,O型四种,宁波市中心血战2015年共有8万人无偿献血,血战统计人员由电脑随机选出20人,血型分别是:
O,A,O,B,O,A,A,AB,A,O,O,B,AB,B,O,A,O,B,O,A.
(1)请设计统计表分类统计这20人各类血型人数;
(2)若每位献血者平均献血200毫升,一年中宁波市各医院O型血用血量约为6×106毫米,请你估计2015年这8万人所献的O型血是否够用?
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作⊙O,交AC于点D,连接DB,过点D作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:AD=CD.
(2)求证:DE为⊙O的切线.
(3)若∠C=60°,DE=,求⊙O半径的长.
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