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【题目】ABCD中,AF平分∠BADBC于点F,∠BAC=90°,点E是对角线AC上的点,连结BE

1)如图1,若AB=AEBF=3,求BE的长;

2)如图2,若AB=AE,点GBE的中点,∠FAG=BFG,求证:ABFG

3)如图3,以点E为直角顶点,在BE的右下方作等腰直角△BEM,若点E从点A出发,沿AC运动到点C停止,设在点E运动过程中,BM的中点N经过的路径长为mAC的长为n,请直接写出的值.

【答案】1BE=3;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)先说明AB=BF,然后再利用等腰直角三角形的性质求解即可;

2)如图2:连接EF,过点GGHEFEF的延长线于H.设BG=aFG=b.先利用相似三角形的性质证得EFGF,最后根据解直角三角形求得AB即可;

3)如图3:在AC上取一点T,使得AT=AB,连接BTTM,取BT的中点J,连接NJ

先证NJ//TMNJ=TM,得到∠BJN=BTM=90°,进一步得到点N的运动轨边是线段,最后代入即可.

解:(1)如图1中,

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC

∴∠DAF=AFB

AF平分∠BAD

∴∠DAF=BAF

∴∠BAF=AFB

AB=BF=3

AB=AE,∠BAE=90°,

BEAB=3

2)连接EF,过点GGHEFEF的延长线于H.设BG=aFG=b

AB=AE,∠BAE=90°,BG=GE

AGBEAG=GB=GE

ABBGa

BF=ABa

BF2=2a2BGBE=2a2

BF2=BGBE

∵∠FBG=EBF

∴△GBF∽△FBE

,∠BFG=BEF

EFGFb

∵∠BAF=BFA,∠GAF=BFG

∴∠AFG=BAG=45°,∠GAF=GEF

∴∠AGE=AFE=90°,

∴∠GFH=45°.

GHEH

GH=FHb

EH=FH+EFb

EGb

AB=AEGEb

ABGF

3)如图3中,在AC上取一点T,使得AT=AB,连接BTTM,取BT的中点J,连接NJ

∵△ABT,△BEM都是等腰直角三角形,

BTABBMBE,∠ABT=EBM=45°,

,∠ABE=TBM

∴△ABE∽△TBM

,∠AEB=BMT

∵∠AEB+BET=180°,

∴∠BMT+BET=180°,

∴∠EBM+ETM=180°.

∵∠EBM=ETB=45°,

∴∠ETM=135°,∠BTM=90°.

BJ=JTBN=NM

NJTMNJTM

∴∠BJN=BTM=90°,

∴点N的运动轨迹是线段JNJNTMAE

∵点EA运动到C时,AE=AC=n

mn

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