[题目]我们学过正多边形及其性质.了解了正多边形各边相等.各内角相等.具有轴对称性和旋转不变．．．．下面我们继续探究正五边形相关线段及角的关系:如图1.正五边形中.连接.并作.则度,连接交于点.求证:四边形是菱形,如图2.是一个斜网格图. 每个小菱形的较小内角是.请利用一把角尺(只能画直角和直线.不能度量.可以用三角板替代)在网格图中画出以为一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】我们学过正多边形及其性质，了解了正多边形各边相等、各内角相等、具有轴对称性和旋转不变．．．．下面我们继续探究正五边形相关线段及角的关系：

如图1，正五边形中，

连接，并作，则度；

连接交于点，求证：四边形是菱形；

如图2，是一个斜网格图，每个小菱形的较小内角是，请利用一把角尺(只能画直角和直线，不能度量，可以用三角板替代)在网格图中画出以为一边的正五边形(保留作图痕迹)．

【答案】（1）18；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）由正五边形的性质可得∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°，BA=BC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠CAF=90°-∠ACF=18°；
（2）由正五边形的性质和等腰三角形的性质可求∠ACD=72°，∠DEB=72°，由平行线的判定可证BE∥CD，AC∥ED，可得四边形GCDE是平行四边形，由菱形的判定可得结论；
（3）如图所示：先画BC边，通过连接对角线作出AB及BC的中点，过AB中点作AB的垂线交与过点A和BC的平行线交于D，过BC中点作BC的垂线交与过点C和AB的平行线交于E，顺次连接各点，所得图形为所求．

（1）∵正五边形 ABCDE，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°，BA=BC，
∴∠BCA=36°，
∴∠ACF=72°，
∴∠CAF=90°-∠ACF=18°，
故答案为：18；

（2）证明：如图，

是正五边形，

，，

∴，，

四边形是平行四边形

又

是菱形．

（3）如图所示：

五边形ABCDE就是所用求作的正五边形。

【点晴】

本题是考查了正五边形的性质，考查了菱形的判定和性质，作图等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

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