Question

【题目】如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（ ）．

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.

解：如图，连接AP

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS

∴△APR≌△APS

∴AS=AR，∠RAP=∠PAC

即①正确；

又∵AQ=PQ

∴∠QAP=∠QPA

∴∠QPA=∠BAP

∴OP//AB，即②正确.

在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.

如图，连接PS

∵△APR≌△APS

∴AR=AS，∠RAP=∠PAC

∴AP垂直平分RS，即④正确；

故答案为C.