Question

【题目】定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为，那么这个三角形叫做“半正切三角形”．

（1）如图①，正方形网格中，已知格点，，在格点，，，中，与，能构成“半正切三角形”的是点__________；

（2）如图②，为“半正切三角形”，点在斜边上，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，所得射线交边于点，连接．

①小彤发现：若为斜边的中点，则一定为“半正切三角形”．请判断“小彤发现”是否正确？并说明理由；

②连接，当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）正确，见解析；（3）

【解析】

（1）按照“半正切三角形”的条件，逐个求解即可；

（2）①过作于点，于点,然后利用相似三角形的性质证明即可；

②过点作交于点，也可证得也为“半正切三角形”，再利用相似三角形及三角函数计算即可．

解：（1）若为点C，在△ABC中，AB2=20，BC2=4，AC2=16，

则AB2=BC2+AC2，△ABC是直角三角形且AC=2BC，∴点C符合；

若为点D，在△ABD中，AB2=20，AD2=10，BD2=10，

则AB2=AD2+BD2，△ABD是直角三角形且AD=BD，∴点D不符合；

若为点E，在△ABE中，AB2=20，AE2=8，BE2=20，

则AB2≠AE2+BE2，△ABE不是直角三角形，∴点E不符合；

若为点F，在△ABF中，AB2=20，AF2=5，BF2=25，

则AB2+AF2=BF2，△ABF是直角三角形且BF=2AF，∴点F符合；

故答案为：，．

（2）①过作于点，于点．

则．又，∴．

再证．

又，

∴为“半正切三角形”．

（3）解：由旋转可知，则，

∵，∴，

∴．

过点作交于点，可得也为“半正切三角形”，

设，则，，

在中，．

则．

∴．