Question

1．已知x+y+z=6，求[（x-1）（y-2）+（x-1）（z-3）+（y-2）（z-3）]÷[（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²]的值．

Answer 1

分析 由x+y+z=6，表示出x+y，y+z，以及x+z，且（x-1）+（y-2）+（z-3）=0，设x-1=a，y-2=b，z-3=c，原式变形后代入计算即可求出值．

解答 解：∵x+y+z=6，
∴x+y=6-z，y+z=6-x，x+z=6-y，
∴（x-1）+（y-2）+（z-3）=0，
设x-1=a，y-2=b，z-3=c，
∵a+b=x-1+y-2=x+y-3=6-z-3=3-z=-c，b+c=y-2+z-3=y+z-5=6-x-5=1-x=-a，c+a=z-3+x-1=z+x-4=6-y-4=2-y=-b，
∴原式=$\frac{ab+bc+ca}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}[（a+b）^{2}+（b+c）^{2}+（c+a）^{2}]-（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）-（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．