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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边AB上,且BE=2AE.将△ADE沿ED对折至△FDE,延长EF交边BC于点G,连结DG,BF.下列结论:①△DCG≌△DFG;②BG=GC;③DG∥BF;④SBFG=3.其中正确的结论是(填写序号)

【答案】①②③
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠A=∠C=90°,
∵△ADE沿ED对折至△FDE,
∴DF=AD,∠DFE=∠A=90°,
∴∠GFD=∠C=90°,
在Rt△DCG与Rt△DFG中,
∴△DCG≌△DFG,故①正确;
∴CG=CF,
设CG=x,则BG=6﹣x,
∵BE=2AE,
∴BE=4,AE=2,
∴EG=x+2,
∵BG2+BE2=EG2
∴(6﹣x)2+42=(x+2)2
∴x=3,
∴BG=CG;故②正确;
∵BG=GF,
∴∠GBF=∠GFB,
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB,
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD,
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD,
∵∠CGD=∠FGD,∠GBF=∠GFB,
∴∠FGD=∠BFG,
∴DG∥BF,故③正确;
∵△BFG和△CEG中,分别把FG和GE看作底边,
则这两个三角形的高相同.
= =
∵SGBE= ×3×4=6,
∴SBFG= ×6=
∴④错误;
正确的结论有3个,
所以答案是:①②③.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形),还要掌握翻折变换(折叠问题)(折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等)的相关知识才是答题的关键.

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