【题目】如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边AB上,且BE=2AE.将△ADE沿ED对折至△FDE,延长EF交边BC于点G,连结DG,BF.下列结论:①△DCG≌△DFG;②BG=GC;③DG∥BF;④S△BFG=3.其中正确的结论是(填写序号)
【答案】①②③
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠A=∠C=90°,
∵△ADE沿ED对折至△FDE,
∴DF=AD,∠DFE=∠A=90°,
∴∠GFD=∠C=90°,
在Rt△DCG与Rt△DFG中, ,
∴△DCG≌△DFG,故①正确;
∴CG=CF,
设CG=x,则BG=6﹣x,
∵BE=2AE,
∴BE=4,AE=2,
∴EG=x+2,
∵BG2+BE2=EG2 ,
∴(6﹣x)2+42=(x+2)2 ,
∴x=3,
∴BG=CG;故②正确;
∵BG=GF,
∴∠GBF=∠GFB,
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB,
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD,
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD,
∵∠CGD=∠FGD,∠GBF=∠GFB,
∴∠FGD=∠BFG,
∴DG∥BF,故③正确;
∵△BFG和△CEG中,分别把FG和GE看作底边,
则这两个三角形的高相同.
∴ = = ,
∵S△GBE= ×3×4=6,
∴S△BFG= ×6= ,
∴④错误;
正确的结论有3个,
所以答案是:①②③.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形),还要掌握翻折变换(折叠问题)(折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】如图,已知:△OAB,△EOF都是等腰直角三角形,∠AOB=900,中,∠EOF=900,连结AE、BF.
求证:(1) AE=BF;(2) AE⊥BF.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:ACAD=ABAE;
(2)如果BD是⊙O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,点E在BC上,以CE为直径的⊙O交AB于点F,AO∥EF
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)如图2,连结CF交AO于点G,交AE于点P,若BE=2,BF=4,求 的值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C,点D为AP的中点,连结AC.求证:
(1)∠P=∠BAC
(2)直线CD是⊙O的切线.
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【题目】为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE,BF的延长线的交点.
(1)AE的长等于;
(2)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明) .
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