Question

如图，AB为⊙O的直径，点D是

AC

的中点，BD交AC于E点，
（1）求证：△DAE∽△DBA；
（2）若DE=2，EB=4，求AD及AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，证明∠DAE=∠B，结合∠D=∠D，即可解决问题．
（2）由△DAE∽△DBA，列出比例式

DE

AD

=

AD

BD

，结合已知条件求出AD；运用勾股定理求出AE．

解答：（1）证明：∵点D是

AC

的中点，
∴

AD

=

DC

，
∴∠DAE=∠B，而∠D=∠D，
∴△DAE∽△DBA．
（2）解：∵△DAE∽△DBA，
∴

DE

AD

=

AD

BD

，
∵DE=2，BE=4，BD=6
∴AD=2

3

；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D=90°，
由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，
∴AE=4．
即AD及AE的长分别为2

3

、4．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．