【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:PD=PF;
(3)连接CD,若CD﹦3,BD﹦4,求⊙O的半径和DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)半径为2.5;DE=2.4;
【解析】
(1)、利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA,进而得出∠DAC=∠DBA,再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE,进而得出∠DAC=∠DBA;(2)、利用圆周角定理得出∠ADB=90°,进而求出∠PDF=∠PFD,则PD=PF;(3)、利用勾股定理得出AB的长,再利用三角形面积求出DE即可.
(1)、证明:∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA,∵AB是⊙O的直径,DE⊥AB,∴∠ADB=∠AED=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DBA+∠DAE=90°,∴∠ADE=∠DBA,∴∠DAC=∠ADE,∴∠DAC=∠DBA;
(2)、证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°,又∵∠ADE =∠DAP,∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF,
(3)、连接CD,∵∠CBD=∠DBA,∴CD=AD,∵CD﹦3,∴AD=3,∵∠ADB=90°,∴AB=5,
故⊙O的半径为2.5,∵DE×AB=AD×BD,∴5DE=3×4,∴DE=2.4. 即DE的长为2.4.
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【题目】如图,抛物线的顶点坐标为,图象与轴交于点,与轴交于、两点.
求抛物线的解析式;
设抛物线对称轴与直线交于点,连接、,求的面积;
点为直线上的任意一点,过点作轴的垂线与抛物线交于点,问是否存在点使为直角三角形?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】传统节日“端午节”的早晨,小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点:一个枣馅粽,一个肉馅粽,两个花生馅粽,四个粽子除内部馅料不同外,其它一切均相同.
(1)小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为 ;
(2)若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子,则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大?请说明理由.
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【题目】如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论:①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AC﹣AB=2BE中正确的是_____.
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.
例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来.
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题: 已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.
(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.
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【题目】在二次函数,与的部分对应值如下表:
… | … | |||||
… | … |
则下列说法:①图象经过原点;②图象开口向下;③图象经过点;④当时,随的增大而增大;⑤方程有两个不相等的实数根.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
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【题目】在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】已知正比例函数和反比例函数,与和的部分对应值如下表所示:
… | 4 | 8 | … | ||
… | 1 | 4 | … | ||
… | 4 | 2 | … |
(1)求、、的值;
(2)指出当时,正比例函数图像与反比例函数图像的交点坐标;
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【题目】中菲黄岩岛争端持续,我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,黄岩岛位于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O,我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C处截住了渔船.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置;
(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.
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