Question

在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃和B₁，B₂，B₃分别在直线y=

1

5

x+

4

5

和x轴上，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃都是等腰直角三角形．
（1）点A₁，A₂，A₃的坐标

 

；
（2）A_n的坐标为

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）设直线y=

1

5

x+

4

5

与x轴的交点为G，过点A₁，A₂，A₃分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由条件可求得

A1D

GD

=

A2E

GE

=

A3F

GF

，再根据等腰三角形可分别求得A₁D、A₂E、A₃F，可得到A₁，A₂，A₃的坐标；
（2）同（1）的思路，过A_n的作A_nM⊥x轴，同理可求得A_n的坐标．

解答：解：（1）设直线y=

1

5

x+

4

5

与x轴的交点为G，
令y=0可解得x=-4，
∴G点坐标为（-4，0），
∴OG=4，
如图1，过点A₁，A₂，A₃分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，

∵△A₁B₁O为等腰直角三角形，
∴A₁D=OD，
又∵点A₁在直线y=

1

5

x+

4

5

上，
∴

A1D

GD

=

1

5

，即

A1D

OG+A1D

=

1

5

，
解得A₁D=1=（

3

2

）⁰，
∴A₁（1，1），OB₁=2，
同理可得

A2E

GE

=

1

5

，即

A2E

A2E+GB1

，
解得A₂E=

3

2

=（

3

2

）¹，则OE=OB₁+B₁E=

7

2

，
∴A₂（

7

2

，

3

2

），OB₂=5，
同理可求得A₃F=

9

4

=（

3

2

）²，则OF=5+

9

4

=

29

4

，
∴A₃（

29

4

，

9

4

）；
故答案为：A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），A₃（

29

4

，

9

4

）；
（2）由（1）可知当A_n时其纵坐标为（

3

2

）^n-1，代入直线y=

1

5

x+

4

5

可求得y=

1

5

×（

3

2

）^n-1+

4

5

，
∴A_n（（

3

2

）^n-1，

1

5

×（

3

2

）^n-1+

4

5

），
故答案为：（（

3

2

）^n-1，

1

5

×（

3

2

）^n-1+

4

5

）．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的坐标的变化规律是解题的关键，注意观察数据的变化．