Question

已知：关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0． 求证：m取任何实数时，方程总有实数根．

Answer 1

考点：根的判别式,一元一次方程的解

专题：证明题

分析：先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为1和当m≠0时，△=b²-4ac=（m-3）²≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程总有实数根．

解答：解：①当m=0时，方程为3x-3=0，x=1，此一元一次方程有实根，
②当m≠0时，方程为一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-3=0，
∵a=m，b=-3（3m-1），c=2m-3，
∴△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²，
∵（m-3）²≥0，
∴m取任何实数时，方程总有实数根．

点评：此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根是本题的关键．