Question

15．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当x为何值时，△OMN是等腰三角形．（直接写出x的值）

Answer 1

分析 （1）如图1，作NH⊥OA垂足为H，由NH∥AB得$\frac{ON}{OB}=\frac{OH}{OA}=\frac{NH}{AB}$即可解决问题．
（2）①当∠ONM=90°时，根据△ONM∽△OAB得$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{OB}$即可解决问题；当∠OMN=90°时，由MN∥AB得$\frac{ON}{OB}=\frac{OM}{OA}$即可解决问题．
（3）①当ON=NM时，如图1，由OH=HM=$\frac{1}{2}$OM列出方程x=$\frac{1}{2}$（4-x）求解；②当ON=OM时，得方程1.25x=4-x可以求解；③当OM=MN时，如图2，作MH⊥ON，由△OHM∽△OAB得到$\frac{OH}{OA}=\frac{OM}{OB}$列出方程求解．

解答 解：（1）如图1，作NH⊥OA垂足为H．
在RT△ABC中，∵OA=4，AB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5
∵∠NHO=∠BAO=90°，
∴NH∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}=\frac{OH}{OA}=\frac{NH}{AB}$，
∴$\frac{1.25x}{5}=\frac{OH}{4}=\frac{NH}{3}$，
∴OH=x，HN=$\frac{3}{4}$x，
∴的N坐标（x，$\frac{3}{4}x$）．
（2）①当∠ONM=90°时，
∵∠ONM=∠OAB，∠NOM=∠AOB，
∴△ONM∽△OAB，
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{1.25x}{4}=\frac{4-x}{5}$，
∴x=$\frac{64}{41}$．
②当∠OMN=90°时，∵MN∥AB，
∴$\frac{ON}{OB}=\frac{OM}{OA}$，
∴$\frac{1.25x}{5}=\frac{4-x}{4}$，
∴x=2．
综上所述：x=$\frac{64}{41}$秒或2秒时，△OMN是直角三角形
（3）①当ON=NM时，如图1，∵NH⊥OM，
∴OH=HM=$\frac{1}{2}$OM，
∴x=$\frac{1}{2}$（4-x），
∴x=$\frac{4}{3}$．
②当ON=OM时，1.25x=4-x，解得：x=$\frac{16}{9}$．
③当OM=MN时，如图2，作MH⊥ON，则OH=HN，
∵∠MOH=∠BOA，∠MHO=∠OAB，
∴△OHM∽△OAB，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{\frac{5}{8}x}{4}=\frac{4-x}{5}$，
x=$\frac{128}{57}$．
综上所述：x=$\frac{4}{3}$秒或$\frac{16}{9}$秒或$\frac{128}{57}$秒时，△OMN是等腰三角形．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，学会转化的思想，用方程去思考是解题的关键．