Question

在正方形ABCD中，AB=4，O为AC的中点，点P在AC上，PF⊥CD垂足为F．连接PB．PE⊥PB，交直线DC于点E．设AP=x，△CPE的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：延长FP交AB于G，判断出△APG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AG=PG，然后求出BG=PF，再求出∠PBG=∠EPF，然后利用“角边角”证明△PBG和△EPF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=PG，再求出PG，表示出CE，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：如图，延长FP交AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵PF⊥CD，
∴PG⊥AB，
∴△APG是等腰直角三角形，
∴AG=PG，
∴AB-AG=GF-PG，
即BG=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠PBG+∠BPG=∠EPF+∠BPG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
在△PBG和△EPF中，

∠PBG=∠EPF BG=PF ∠BGP=∠PFE=90°

，
∴△PBG≌△EPF（ASA），
∴EF=PG，
∵AP=x，
∴PG=

2

2

x，
∴CE=4-2×

2

2

x=4-

2

x，
又∵PF=4-

2

2

x，
∴△CPE的面积为y=

1

2

×（4-

2

x）×（4-

2

2

x）=

1

2

x²-3

2

x+8，
即y=

1

2

x²-3

2

x+8．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．