【题目】直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,⊙E经过原点O及A、B两点,C是⊙E上一点,连接BC交OA于点D,∠COD=∠CBO.
(1)求A、B、C三点坐标;
(2)求经过O、C、A三点的抛物线解析式;
(3)直线AB上是否存在点P,使得△COP的周长最小?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点A(3,0),点B(0,),点C(,);(2)y=x2﹣x;(3)点P的坐标为(,).
【解析】分析:(1)由直线y=-x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,即可求得点A与点B的坐标,然后连接EC,交x轴于点H,由∠COD=∠CBO,根据垂径定理的即可求得OH与AH的长,由勾股定理,可求得AB的长,EH的长,继而求得点C的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得经过O、C、A三点的抛物线解析式;
(3)由OC已知,可得当OP+CP最小时,△COP的周长最小;过点O作OF⊥AB于点F,并延长交⊙O于点K,连接CK交直线AB于点P,此点即为所求;易证得CK是直径,则可得点P与点E重合,继而求得P点坐标.
详解:(1)∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,
∴当x=0时,y=,当y=0时,x=3,
∴点A(3,0),点B(0,)
∴AB==2,
∴AE=BE=AB=,
如图1,连接EC,交x轴于点H,
∵∠COD=∠CBO,
∴,
∴EC⊥OA,OC=AC,
∴OH=AH=OA=,
在Rt△AEH中,EH=
∴CH=EC﹣EH=,
∴点C的坐标为(,﹣);
(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax(x﹣3),
∵点C的坐标为(,﹣);
∴﹣=a××(﹣3),
解得:a=,
∴经过O、C、A三点的抛物线的解析式为:y=x2﹣x;
(3)存在.
∵OC=,
∴当OP+CP最小时,△COP的周长最小,
如图2,过点O作OF⊥AB于点F,并延长交⊙O于点K,连接CK交直线AB于点P,此点P即为所求;
∵∠OAB=30°,
∴∠AOF=60°,
∵∠COD=30°,
∴∠COK=90°,
∴CK是直径,
∵点P在直线AB上,
∴点P与点E重合;
∵点E的横坐标为:,
∴y=﹣×+=,
∴点P的坐标为(,).
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1)求直线AC的解析式;
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点,过点P作PD⊥AC,垂足为D,当线段PD的长度最大时,点Q从点P出发,先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处,再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止,当点Q在整个运动中所用时间t最少时,求点M的坐标;
(3)如图2,将△BOC沿直线BC平移,平移后B,O,C三点的对应点分别是B′,O′,C′,点S是坐标平面内一点,若以A,C,O′,S为顶点的四边形是菱形,请直接写出所有符合条件的点S的坐标.
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【题目】定义:一个自然数,右边的数字总比左边的数字小,我们称它为“下滑数”(如:32,641,8531等).现从两位数中任取一个,恰好是“下滑数”的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】重庆育才中学需要为老校友们订制周年纪念吉祥物“陶娃”,原计划订份,每份元,订制公司表示:如果多订,可以优惠.根据校庆当天前来的校友数量,学校最终订了份,并按原价八折购买,但订制公司获得了同样的利润.
(1)求订制公司生产每套“陶娃”的成本;
(2)求订制公司获得的利润.
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【题目】如图,已知正方形纸片ABCD的边长为2,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
(1)观察操作结果,找到一个与△EDP相似的三角形,并证明你的结论;
(2)当点P位于CD中点时,你找到的三角形与△EDP周长的比是多少?
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【题目】数轴上有、、三个点,分别表示有理数、、,两条动线段和,,,如图,线段以每秒个单位的速度从点开始一直向右匀速运动,线段同时以每秒个单位的速度从点开始向右匀速运动,当点运动到时,线段立即以相同的速度返回,当点运动到点时,线段、立即同时停止运动,设运动时间为秒(整个运动过程中,线段和保持长度不变,且点总在点的左边,点总在点的左边)
(1)当为何值时,点和点重合?
(2)在整个运动过程中,线段和重合部分长度能否为,若能,请求出此时点表示的数;若不能,请说明理.
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【题目】某校初二开展英语拼写大赛,爱国班和求知班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示:
(1)根据图示填写下表:
班级 | 中位数(分) | 众数(分) | 平均数(分) |
爱国班 | 85 | ||
求知班 | 100 | 85 |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩比较好?
(3)已知爱国班复赛成绩的方差是70,请求出求知班复赛成绩的方差,并说明哪个班成绩比较稳定?
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【题目】聪聪参加我市电视台组织的“阳光杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题聪聪都不会,不过聪聪还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果聪聪两次“求助”都在第一道题中使用,那么聪聪通关的概率是 .
(2)如果聪聪将每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率.
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