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【题目】直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,⊙E经过原点OA、B两点,C是⊙E上一点,连接BCOA于点D,COD=CBO.

(1)求A、B、C三点坐标;

(2)求经过O、C、A三点的抛物线解析式;

(3)直线AB上是否存在点P,使得COP的周长最小?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点A(3,0),点B(0,),点C();(2)y=x2x;(3)点P的坐标为().

【解析】分析:(1)由直线y=-x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,即可求得点A与点B的坐标,然后连接EC,交x轴于点H,由∠COD=∠CBO,根据垂径定理的即可求得OHAH的长,由勾股定理,可求得AB的长,EH的长,继而求得点C的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得经过O、C、A三点的抛物线解析式;
(3)由OC已知,可得当OP+CP最小时,△COP的周长最小;过点OOF⊥AB于点F,并延长交⊙O于点K,连接CK交直线AB于点P,此点即为所求;易证得CK是直径,则可得点P与点E重合,继而求得P点坐标.

详解:(1)∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于A、B两点,

∴当x=0时,y=,当y=0时,x=3,

∴点A(3,0),点B(0,

∴AB==2

∴AE=BE=AB=

如图1,连接EC,交x轴于点H,

∵∠COD=∠CBO,

∴EC⊥OA,OC=AC,

∴OH=AH=OA=

在Rt△AEH中,EH==

∴CH=EC﹣EH=

∴点C的坐标为(,﹣);

(2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax(x﹣3),

∵点C的坐标为(,﹣);

∴﹣=a××(﹣3),

解得:a=

∴经过O、C、A三点的抛物线的解析式为:y=x2x;

(3)存在.

∵OC=

∴当OP+CP最小时,△COP的周长最小,

如图2,过点O作OF⊥AB于点F,并延长交⊙O于点K,连接CK交直线AB于点P,此点P即为所求;

∵∠OAB=30°,

∴∠AOF=60°,

∵∠COD=30°,

∴∠COK=90°,

∴CK是直径,

∵点P在直线AB上,

∴点P与点E重合;

∵点E的横坐标为:

∴y=﹣×+=

∴点P的坐标为().

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