Question

【题目】如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．

（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；

（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？

Answer 1

【答案】（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．证明见解析；（2）4：3．

【解析】分析：（1）根据题意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求．

详解：（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠C=∠D=90°．

由折叠知∠EPQ=∠A=90°．

∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．

∴△PCG∽△EDP．

（2）设ED=x，则AE=2﹣x，

由折叠可知：EP=AE=2﹣x．

∵点P是CD中点，

∴DP=1．

∵∠D=90°，

∴ED2+DP2=EP2，

即x2+12=（2﹣x）2

解得x=．

∴．

∵△PCG∽△EDP，

∴．

∴△PCG与△EDP周长的比为4：3．