Question

4．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是50元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多10元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少10元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了190元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品60件和乙商品40件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降1元，这两种商品每天可多卖出10件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，则甲商品的零售价为（x+10）元，乙商品的零售价为（2y-10）元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）由条件可以得出，甲种商品每件的利润为（30-m-20）元，销售数量为（60+10m），乙种商品每件的利润为（50-m-30）元，销售数量为（40+10m），即可得出总利润，利用二次函数最值求出即可．

解答 解：（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=50}\\{3（x+10）+2（2y-10）=190}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=30}\end{array}\right.$．
∴甲种商品的进价为：20元，乙种商品的进价为：30元．
（2）设经销甲、乙两种商品获得的总利润为W，甲种商品每件的利润为（30-m-20）元，销售数量为（60+10m），乙种商品每件的利润为（50-m-30）元，销售数量为（40+10m），则
W=（10-m）（60+10m）+（20-m）（40+10m）
=-20m²+200m+1400
=-20（m-5）²+1900
∵-20＜0，
∴当m定为5元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1900元．

点评 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次函数最值求法的应用，此题是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．