Question

【题目】阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求 的值．

（1）小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答： 的值为 ．
（2）参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．
①求 的值；
（3）②若CD=2，则BP= ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，

设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．

∵E是AC中点，

∴AE=CE．

∵AF∥DB，

∴∠F=∠1．

在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB，

∴EF=BE，AF=BC=2k．

∵AF∥DB，

∴△AFP∽△DBP，

∴ = = = = ．

∴ 的值为

（3）6
【解析】解：（1） 的值为 ．
提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
即可得到 = = ．
所以答案是： ；
·（3）②当CD=2时，BC=4，AC=6，
∴EC= AC=3，EB= =5，
∴EF=BE=5，BF=10．
∵ = （已证），
∴ = ，
∴BP= BF= ×10=6．
所以答案是6．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．