Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，EC，将△FAE绕点F旋转180°得到△FDM．

(1)补全图形并证明：EF⊥AC；

(2)若∠B=60°，求△EMC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）①按要求画出图形即可；②连接BD，由已知条件可知EF是△ABD的中位线，由此可得EF∥BD，由菱形的性质可得AC⊥BD，从而可得EF⊥AC；

（2）由已知条件易得△ABC是等边三角形，结合点E是AB的中点可得CE⊥AB，结合AB∥CD可得CE⊥MC，在Rt△BCE中由已知条件求得CE的长，由已知易得AE=1，由此可得MD=1，从而可得CD的长，这样即可由S△CME=MC·CE求出其面积了.

（1）①补全图形如下图所示：

②如下图，连接DB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，

∵E，F分别是AB，AD的中点，

∴EF∥BD.

∴EF⊥AC.

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC.

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是AB的中点，

∴CE⊥AB，CE⊥MC.

即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°=.

由（1）得MD=AE=AB=1.

∴MC=MD+DC=3.

∴S△EMC=MC×CE=.