Question

15．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③DC平分∠ADE；④CG²=AG•BG；
其中结论正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：$\widehat{AD}$=$\widehat{CA}$，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；
②由$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；
③可以结合DC平分∠ADE，进而得出结论与已知矛盾进而得出答案；
④利用圆周角定理以及相似三角形的判定与性质得出即可．

解答 解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正确；
②∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正确；
③连接AC，
∵由①得$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴当DC平分∠ADE时，$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=FC，
又∵CF=2，AF=3，
∴FC≠AF，
∴③DC平分∠ADE错误；
④连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACG=∠CBA，
又∵∠ACG=∠CGB，
∴△ACG∽△CBG，
∴$\frac{GC}{BG}$=$\frac{AG}{CG}$
∴CG²=AG•BG故此选项正确．
故选；C．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．