Question

3．如图1，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图2中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S；
（3）若把正方形放在直线l上，让纸片ABCD按上述方法旋转，（请直接写出）经过多少次旋转，顶点A经过的路程是$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$π．

Answer 1

分析 （1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、$\sqrt{2}$、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可；
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可；
（3）利用正方形纸片ABCD经过4次旋转得出旋转路径，进而得出$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$π=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，即可得出旋转次数．

解答 解：（1）作图如图；


（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、$\sqrt{2}$、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S=2×$\frac{90×1×π}{360}$+2×$\frac{90π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$+2×$\frac{150π×1}{360}$+4×$\frac{1}{2}$×1²
=$\frac{π}{2}$+π+$\frac{5}{6}$π+2
=$\frac{7}{3}$π+2．如图所示．
（3）正方形纸片ABCD经过3次旋转，顶点A在此过程中经过的路程为：
∵$\frac{90×1×π}{180}$×2+$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，根据第四次正方形旋转时A点不动，也就是此时也是正方形纸片ABCD经过4次旋转的路程；
又$\frac{41+20\sqrt{2}}{2}$π=20（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π+$\frac{π}{2}$，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．

点评 本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道综合了圆的有关计算，旋转的性质的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．