Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），直线l与x轴正半轴夹角为30°，点B为直线l上的一个动点，延长AB至点C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点F，过点A作AE∥l交直线CD于点E．
（1）若点B的横坐标为6，则点C的坐标为（9，4$\sqrt{3}$），DE的长为2$\sqrt{3}$；
（2）若点B的横坐标大于3，则线段CF的长度是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长度；若改变，请说明理由；
（3）连结BE，在点B的运动过程中，以OB为直径的⊙P与△ABE某一边所在的直线相切，请求出所有满足条件的DE的长．

Answer 1

分析 （1）把x=6代入直线OB解析式求出y的值，确定出B坐标，根据B为AC中点，求出C的坐标，再由AE与OB平行确定出直线AE解析式，由CD垂直于x轴，得到E与C横坐标相同，把C横坐标代入直线AE解析式求出E的纵坐标，即为DE的长；
（2）在点B的运动过程中，线段CF的长度不发生改变，设B横坐标为a，代入直线OB解析式表示出纵坐标，根据B为AC中点，表示出C的坐标，再由AE与OB平行确定出直线AE解析式，由CD垂直于x轴，得到E与C横坐标相同，把C横坐标代入直线AE解析式表示出E的纵坐标，由CD-DE求出CE的长，根据F为CE中点，求出CF的长即可；
（3）分当点D在点A的右侧时、当点D在线段OA上时和当点D在点O的左侧时三种情况分类讨论即可．

解答 解：（1）∵直线l与x轴正半轴夹角为30°，
∴直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
把x=6代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$得：y=2$\sqrt{3}$，
∵A（3，0），B（6，2$\sqrt{3}$），且B为AC中点，
∴C（9，4$\sqrt{3}$），
由AE∥OB，且直线OB解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，故设直线AE解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+b，
把A（3，0）代入得：b=-$\sqrt{3}$，即直线AE解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$-$\sqrt{3}$，
由CD⊥x轴，得到C与E横坐标相同，
把x=9代入直线AE解析式得：y=2$\sqrt{3}$，
则DE=2$\sqrt{3}$；
故答案为：C（9，$4\sqrt{3}$），DE=$2\sqrt{3}$；      

（2）如图（1），过点A作AM⊥x轴于M，
∴∠OAM=90°，∠BOA=30°，
∴AM=OAtan∠BOA=$\sqrt{3}$．
∵B为AC的中点，
∴AB=BC
又∵AM∥CF，
∴∠AMB=∠CFB，∠MAB=∠FCB
∴△ABM≌△CBF
∴CF=AM=$\sqrt{3}$．
∴线段CF的长度保持不变．   

（3）如图1，过点B作BG⊥x轴于点G．
易证，OB=2BG，CD=2BG，
∴OB=CD．
（ I）当点D在点A的右侧时，⊙P只能与BE相切，如图2
设DE=a，则OB=CD=$2\sqrt{3}+a$．
∵⊙P与BE相切于点B，
∴OB⊥BE．
易得BF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴OF=OB+BF=$\frac{5}{2}\sqrt{3}+a$．
∴OF=2DF，
∴$\frac{5}{2}\sqrt{3}+a$=$2（{\sqrt{3}+a}）$．
解得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴DE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．     
（ II）当点D在线段OA上时，
①若⊙P与直线AE相切，如图3，
易得，直线l与AE的距离是$\frac{3}{2}$．
∴OB=3．
∴CD=3．
∴DE=2CF-CD=$2\sqrt{3}-3$．    
②当⊙P与AB相切，如图4．
∴∠OBA=90°．
∴OB=OAtan∠OBA=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∴CD=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
∴DE=2CF-CD=$2\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．    
（III）当点D在点O的左侧时，⊙P只能与直线AE相切，如图5
∵直线l与AE的距离是$\frac{3}{2}$，
∴OB=3．
∴CD=3．
∴DE=2CF+CD=$2\sqrt{3}+3$．
综上所述，DE的长为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$2\sqrt{3}-3$或$2\sqrt{3}+3$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线平行时斜率满足的关系，两直线垂直时斜率满足的关系，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．