Question

【题目】如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）

（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；

（2）

解：由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，

∴OB=5，

∴B点坐标为（5，0），

∵y=x2﹣4x﹣5，

∴C点坐标为（0，﹣5）；

（3）

解：如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，

∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，

在Rt△OBC中，OB=OC=5，

∴BC=5 ，

∴圆的半径为 ，

∴圆的面积为π（ ）2= π．

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有二次函数的性质、待定系数法、勾股定理、圆周角定理等．本题属于基础性的题目，难度不大．（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．