Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点P为AB边上一点，Q为BC边上一点，且∠BPQ=∠APC，过点A作AD⊥PC，交BC于点D，直线AD分别交直线PC、PQ于E、F．
（1）求证：∠FDQ=∠FQD；
（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F刚好落在AB边上点G，设PC分别交GQ、GD于M、N，试判定MN与EN的数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）首先根据∠ACB=90°，AC=BC，可得∠BAC=∠ABC=45°；然后根据三角形的外角的性质，可得∠FDQ=∠FAB+∠ABC=∠FAB+45°；最后在△BPQ中，根据三角形的内角和定理，推得∠FQD=∠BQP=∠FAB+45°，即可推得∠FDQ=∠FQD．
（2）MN与EN的数量关系是：MN=3EN．首先判断出AH∥DG∥PQ，推得$\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QH}$，再根据相似三角形判定的方法，判断出△APC∽△BPQ，推得$\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，进一步推得BQ=HC=CD；然后判断出AH∥PF，推得$\frac{DQ}{DH}=\frac{FD}{AD}=\frac{GQ}{AD}$=$\frac{BQ}{BD}$，进一步推得DQ=CD，BP=PG，再根据BI∥GQ，推得BI=GM；最后判断出AD∥BI，即可推得$\frac{DE}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，据此判断出MN=3EN即可．

解答 （1）证明：如图1，，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
由三角形的外角的性质，可得
∠FDQ=∠FAB+∠ABC=∠FAB+45°，
∵AD⊥PC，
∴∠AEP=90°，
∴∠FAB+∠APC=90°，
∴∠APC=90°-∠FAB，
又∵∠BPQ=∠APC，
∴∠BPQ=90°-∠FAB，
∴∠FQD=∠BQP=180°-∠BPQ-∠ABC
=180°-（90°-∠FAB）-45°
=∠FAB+45°
∴∠FDQ=∠FQD．

（2）解：MN与EN的数量关系是：MN=3EN．
如图2，延长DC至H，使HC=CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，
∵HC=CD，AC⊥HD，
∴△ADH是等腰三角形，
∴AD=AH，
∴∠H=∠ADH=∠FDQ=∠FQD=∠BQP，
∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，
∴△GDQ≌△FDQ，
∴∠FDQ=∠GDQ，
又∵∠H=∠FDQ=∠BQP，
∴∠H=∠BQP=∠GDQ，
∴AH∥DG∥PQ，
∴$\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QH}$，∠GQP=∠DGQ，
在△APC和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APC=∠BPQ}\\{∠CAP=∠QBP=45°}\end{array}\right.$
∴△APC∽△BPQ，
∴$\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，
又∵$\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QH}$，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{BQ}{QH}$，
∴BC=QH，
∴BQ=HC，
又∵HC=CD，
∴BQ=HC=CD．
∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，
∴∠DFQ=∠DGQ，
又∵∠GQP=∠DGQ，
∴∠GQP=∠DFQ，
∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，
∴$\frac{MN}{EN}=\frac{GM}{DE}$，FD=GQ，
∵AH∥PF，
∴$\frac{DQ}{DH}=\frac{FD}{AD}=\frac{GQ}{AD}$=$\frac{BQ}{BD}$，
又∵DH=2CD，BQ=CD，
∴$\frac{DQ}{2CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{DQ}{2CD}=\frac{CD}{CD+DQ}$，
∴（DQ+2CD）（DQ-CD）=0，
解得DQ=CD，或DQ=-2CD（舍去），
∵$\frac{BP}{PG}=\frac{BQ}{DQ}$=1，
∴BP=PG，
∵BI∥GQ，
∴$\frac{BI}{GM}=\frac{BP}{PG}$=1，
∴BI=GM，
∵BI∥GQ，AD∥GQ，
∴AD∥BI，
∴$\frac{DE}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{GM}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{MN}{EN}=\frac{GM}{DE}=3$，
∴MN=3EN．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了空间想象能力，要熟练掌握．
（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（3）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．