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【题目】已知抛物线yn=﹣(xan)2+bn(n为正整数,且0≤a1a2…≤an)x轴的交点为

A(00)An(n0)nCn1+2,当n1时,第1条抛物线y1=﹣(xa1)2+b1x轴的交点为A(00)A1(20),其他依此类推.

(1)a1b1的值及抛物线y2的解析式.

(2)抛物线的顶点B坐标为(___________);依此类推,第n+1条抛物线yn+1的顶点Bn+1坐标为(_________)所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是______.

(3)探究下结论:

①是否存在抛物线yn,使得△AAnBn为等腰直角三角形?若存在请求出抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.

②若直线xm(m0)与抛物线yn分别交于C1C2Cn则线段C1C2C2C3Cn1Cn的长有何规律?请用含有m的代数式表示.

【答案】(1)a1=1a2=1y2=﹣(x2)2+4(2)nn2n+1(n+1)2yx2(3)①存在,y=﹣(x1)2+1;②Cn1Cn=2m.

【解析】

(1)A1(20),则C12,则C22+24,将点AA1的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,则点A2(40),将点AA2的坐标代入抛物线表达式,同理可得:a22b24,即可求解;

(2)同理可得:a33b39,故点B的坐标为(nn2),以此推出:点B[(n+1(n+1)2],故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是:yx2,即可求解;

(3)①△AAnBn为等腰直角三角形,则AAn22ABn2,即(2n)22(n2+n4),即可求解;

yCn1=﹣(mn+1)2+(n1)2yCn=﹣(mn)2+n2Cn1nyCnyCn1,即可求解.

解:(1)A1(20),则C12,则C22+24

将点AA1的坐标代入抛物线表达式得:,解得:

则点A2(40),将点AA2的坐标代入抛物线表达式,同理可得:a22b24

y2=﹣(xa2)2+b2=﹣(x2)2+4

(2)同理可得:a33b39,故点B的坐标为(nn2)

以此推出:点B[(n+1(n+1)2]

故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是:yx2

故答案为:(nn2)[(n+1(n+1)2]yx2

(3)①存在,理由:

A(00),点An(2n0)、点Bn(nn2)

AAnBn为等腰直角三角形,则AAn22ABn2

(2n)22(n2+n4),解得:n1(不合题意的值已舍去)

抛物线的表达式为:y=﹣(x1)2+1

yCn1=﹣(mn+1)2+(n1)2

yCn=﹣(mn)2+n2

Cn1CnyCnyCn1=﹣(mn)2+n2+(mn+1)2(n1)22m.

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