Question

如图，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB=3，BC=5，CF=2，求BE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠DCB=90°，进而可得BE⊥CF；
（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO=EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠DCB=90°，
∴EB⊥FC；

（2）解：过A作AM∥FC，
∵AM∥FC，
∴∠AOB=∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
在△AOE和△MOB中

∠AEO=∠MBO BO=EO ∠AOE=∠BOM

，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO=MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM=FC=2，
∴AO=1，
∴EO=

AE2-AO2

=2

2

，
∴BE=4

2

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是证明出AO=MO，BO=EO．