Question

【题目】如图点A（a，0）在x轴负半轴，点B（b，0）在x轴正半轴，点C（0，c）在y轴正半轴，且．

（1）如图1，求S△ABC；

（2）如图2，若点D（0，5），BD的延长线交AC于E，求∠AEB；

（3）如图3，在（2）的条件下，将线段BA绕点B逆时针旋转90°至线段BF，连接EF，试探究EA，EB，EF之间有怎样的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）45°；（3），证明详见解析

【解析】

（1）根据非负数的性质得到a＝﹣3，b＝2，c＝7，于是得到点A（﹣3，0），点B（2，0），点C（0，7），求得OA＝3，OB＝2，OC＝7，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到AC＝＝，过C作CH∥BD交x轴于H，求得直线BD的解析式为：yBD＝﹣x+2，得到直线CH的解析式为yCH＝﹣x+7，求得H（，0），得到OH＝，根据勾股定理得到CH＝＝，过A作AM⊥CH于M，根据三角形的面积公式得到AM＝，根据等腰直角三角形的判定和性质得到∠CAM＝∠ACM＝45°，根据平行线的性质即可得到结论；

（3）根据旋转的性质得到△ABF是等腰直角三角形，得到AB＝BF，∠ABF＝90°，把△EBF绕着点B顺时针旋转90°得到△ABQ，推出△EBQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）∵+（b﹣2）2+|c﹣7|＝0，

∴a+3＝0，b﹣2+0，c﹣7＝0，

∴a＝﹣3，b＝2，c＝7，

∴点A（﹣3，0），点B（2，0），点C（0，7），

∴OA＝3，OB＝2，OC＝7，

∴S△ABC＝ABOC＝×5×7＝；

（2）∵AC＝＝，

∵点D（0，5），

∴BD＝，

如图，过C作CH∥BD交x轴于H，

∵点B（2，0），点D（0，5），

∴直线BD的解析式为：yBD＝﹣x+2，

∴直线CH的解析式为yCH＝﹣x+7，

当y＝0时，x＝，

∴H（，0），

∴OH＝，

∴CH＝＝，

过A作AM⊥CH于M，

∵S△ACH＝AHOC＝CHAM，

∴AM×＝×7，

∴AM＝，

∴CM＝＝，

∴AM＝CM，

∴∠CAM＝∠ACM＝45°，

∵BE∥CH，

∴∠AEB＝∠ACH＝45°；

（3）∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°至线段BF，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AB＝BF，∠ABF＝90°，

如图3，把△EBF绕着点B顺时针旋转90°得到△ABQ，

∴△EBQ是等腰直角三角形，

∴∠QEB＝45°，EF＝AQ，

∴∠AEQ＝90°，

∴EF2＝AQ2＝AE2+EQ2＝AE2+2BE2，

故答案为：．