Question

【题目】如图，在四边形ABCD中,AB∥CD，∠A=90°，AB=1，AD=3，DC=5.点S沿A→B→C运动到C点停止，以S为圆心，SD为半径作弧交射线DC于T点，设S点运动的路径长为x，等腰△DST的面积为y，则y与x的函数图象应为( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

分别讨论S在AB边时和BC边时，y与x的函数关系式，结合选项得出结论.

如图：①当S在AB边时，即0≤x≤1时，则AS=x，过S作SE⊥DT于E，

∵∠A=90°，AB//CD

∴四边形ADES是矩形，

∴S△ADS=S△ESD，

∵SD=ST，SE⊥DT

∴S△ESD=S△EST

∴y=S△DST=2S△ESD=2S△ADS=2××3x=3x，

∴0≤x≤1时，y与x是正比例函数关系，图像是过原点的直线，且x=1时，y=3，

②如图：当S在BC边时，即1<x≤6时，则BS=x-1

过B作BF⊥CD，过S作SN⊥CD，延长NS交AB延长线于M，

∵AB=1，CD=5，

∴CF=4，

∴BC==5，

∵AM//CD，

∴∠MBC=∠BCF，

∵∠BFC=∠BMS=90°，∠MBC=∠BCF，

∴△BMS∽△BFC，

∴，

解得：MS=(x-1)，BM=(x-1)，

∴NS=MN-MS=3-(x-1)=，DN=AB+BM=1+(x-1)=，

∴y=S△DST=×2×DNNS=（）（）=-x2+x+，

∴1<x≤6时，y与x是二次函数关系，图像是抛物线，

综上所述，只有A选项符合题意，

故选A.