Question

【题目】在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点．将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，AD．点P是直线BD上的一个动点．

（1）求点D的坐标和直线BD的解析式；

（2）当∠PCD＝∠ADC时，求点P的坐标；

（3）若点Q是经过点B，点D的抛物线y＝ax2+bx+2上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点Q，使得以点P、点Q、点D为顶点的三角形与△ACD相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为（2，）或（8，）；（3）见解析.

【解析】

（1）作DE⊥x轴，构造全等三角形求点D的坐标，待定系数法求BD的解析式；

（2）要特别注意∠PCD＝∠ADC有两种情况：∠PCD在直线CD的下方或上方，防止漏解；

（3）根据∠PDQ分别与∠ACD，∠ADC，∠CAD相等进行讨论，每种情形都还要再分两种情况进行分析，还要注意点在点D的左侧和右侧两种不同情况，以防漏解．

解：（1）如图1，过D作DE⊥x轴于E，由旋转得：BA＝BD，∠ABD＝90°，

∵DE⊥x轴，

∴∠BED＝∠AOB＝90°

∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠DBE+∠ABO＝90°，

∴∠BAO＝∠DBE

∴△BAO≌△DBE（AAS）

∴BE＝OA＝2，DE＝OB＝1，

∴OE＝OB+BE＝1+2＝3

∴D（3，1）；

设直线BD的解析式为y＝mx+n，将B（1，0），D（3，1）分别代入得，解得，

∴直线BD的解析式为．

（2）如图2，∵∠PCD＝∠ADC

∴CP∥AD

∴，

∵BC＝CA

∴BP＝PD

∴P（2，），

作点P关于直线CD的对称点P′（2，），连接CP′，则∠P′CD＝∠PCD＝∠ADC

设直线CP′的解析式为y＝m1x+n1，将C（，1），P′（2，）代入得，解得，

∴直线CP′的解析式为，

联立方程组，解得，∴P（8，），

综上所述：点P的坐标为（2，）或（8，）．

（3）将B（1，0），D（3，1）分别代入y＝ax2+bx+2得，

解得，

∴抛物线解析式为，

△PDQ与△ACD相似分三种情况：

①如图3，∠PDQ＝∠DAC＝45°，延长AB至M，使BM＝BD，连接DM交抛物线于Q，

作BN∥y轴，MN∥x轴交BN于N，

∴BM＝BD＝，∠MBN＝∠BAO，∠BNM＝90°

∴＝tan∠MBN＝tan∠BAO＝，

∴MN＝1，BN＝2，

∴M（2，﹣2）；

设直线DM解析式为y＝m2x+n2，将D（3，1）、M（﹣2，﹣2）代入，

得，

解得

∴直线DM解析式为

联立方程组，

解得（舍去），

Q；

若∠DPQ＝∠ACD，则可证得PQ∥y轴，

∴P1，

若∠DPQ＝∠ADC，可求得

P2，

②∠PDQ＝∠ADC时，

如图4，点Q位于直线BD下方时，

∠PDQ+∠CDB＝∠ADC+∠CDB，即∠CDQ＝∠ADB＝45°，

∵CD∥x轴，∴直线DQ与x轴夹角为45°，设DQ解析式为y＝x+k，将D（3，1）代入得3+k＝1，k＝﹣2

∴y＝x﹣2

联立方程组，

解得（舍去），，

∴，

易求直线AD解析式为，

∴直线PQ解析式为

联立方程组，解得，

∴P3，

若∠DPQ＝∠ACD，则PQ∥y轴，；

如图5，点Q位于直线BD上方时，

在y轴上取点E（0，），延长DC交y轴于点M，连接DE交抛物线于Q，过点E作EH⊥AD于H，

作∠DQP1＝45°或∠DQP＝∠ACD，点P，P1在直线BD上，

在Rt△AEH中，tan∠ADM中，tan∠DAM＝＝3，AM＝1，DM＝3，AM＝；

在Rt△AEH中，tan∠EAD＝＝3，AE＝AO﹣OE＝2﹣，

设AH＝x，则EH＝3x，

由勾股定理得，解得x＝，

∴EH＝，DH＝

∴tan∠EDA＝＝tan∠BAC

∴∠EDA＝∠BAC

∴∠BDQ＝∠ADC

易求得直线DE解析式为y＝，可联立方程组解得Q,

若∠DQP＝∠DAC＝45°，易求得DQ＝，

由△ADC∽△QDP得，

∴DP×DA＝DC×DQ，即，

∴DP＝

∴P5．

若∠DPQ＝∠DAC＝45°，

由△DPQ∽△DAC得

∴DP×DC＝DA×DQ，即DP×

∴DP＝

∴P6

③如图6，∠PDQ＝∠ACD，

当点P在射线DB上时，

∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD＝∠CDB+90°

∴DQ⊥CD时，∠BDQ＝∠ACD，显然，此时点Q不存在．

当点P在DB反向延长线上时，

易求得直线DQ解析式为y＝,

联立方程组可求得Q，

∴DQ＝

若∠PQD＝∠ADC，则△DPQ∽△CAD

∴，即DP×CD＝CA×DQ，DP×

∴DP＝

∴P7，

若∠PQD＝∠DAC，则△DPQ∽△CDA

∴，即DP×CA＝CD×DQ，DP×

∴DP＝

∴P8

综上所述：符合要求的点P的坐标为P1,P2，P3，； P5，P6，P7，P8．