Question

【题目】在△ABC中，AB＝，BC＝6，∠B＝45°，D为BC边上一点将△ABC沿着过D点的直线折叠，使得点C落在AB边上，记CD＝m，则AC＝_____，m的取值范围是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

过A点作AN⊥BC于点N，由等腰直角三角形的性质得出AN＝BN＝4，求出CN＝BC﹣BN＝2，在Rt△ANC中，由勾股定理即可得出AC的长；

①当DE⊥AB时，DE最小，即CD最小，根据已知条件得到△DEB是等腰直角三角形，设CD＝DE＝x，则DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，解直角三角形得到结论，②如图2中，当E与A重合时，DE最大，即CD最大，作AH⊥CB于H，设CD＝DE＝x，在Rt△AHB中，易知AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，根据勾股定理即可得到结论．

解：过A点作AN⊥BC于点N，如图1所示：

∵∠B＝45°，∠ANB＝90°，

∴AN＝BN＝AB＝×＝4，

∴CN＝BC﹣BN＝2，

在Rt△ANC中，由勾股定理得：AC＝；

①如图2所示，∵CD＝DE，

∴当DE⊥AB时，DE最小，即CD最小，

∵∠B＝45°，

∴△DEB是等腰直角三角形，

设CD＝DE＝x，则DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，

∵BC＝6，

∴x+x＝6，

∴x＝6﹣6，

②如图3所示，当E与A重合时，

作AH⊥CB于H，设CD＝DE＝x，

在Rt△AHB中，AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，

∴x2＝42+（x﹣2）2，

∴x＝5，

综上可知，CD的最大值为5，最小值为6﹣6，

∴CD的取值范围是6﹣6≤CD≤5，

故答案为：2，6﹣6≤m≤5．