【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于点C,连接AC、BC,且∠ACB=90°.
(1)求二次函数的解析式;
(2)如图(1),若N是AC的中点,M是BC上一点,且满足CM=2BM,连AM、BN相交于点E,求点M的坐标和△EMB的面积;
(3)如图(2),将△AOC沿直线BC平移得到△A′O′C′,再将△A′O′C′沿A′C′翻折得到△A′O′C′,连接AO′,AC′,请问△AO′C′能否构成等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点C的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)C的坐标为()或(,)或().
【解析】
(1)∠ACB=90°,则OC2=OA×OB=3,则点C(0,﹣),即可求解;
(2)证明则S△BEM=S=S△ABM,即可求解;
(3)分O″C′=AO″、O″C′=AC′、AO″=AC′,三种情况,分别求解即可.
解:(1)∵∠ACB=90°,
∠OBC+∠OCB=90°,∠ACO+∠BCO=90°,∴∠OBC=∠ACO,
∴△COB∽△AOC,∴OC2=OA×OB=3,
则点C(0,﹣),则∠ACO=30°,
则二次函数表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
即:﹣3a=﹣,则a=,
则抛物线的表达式为:;
(2)点C(0,﹣)、点B(0,3),
∵CM=2BM,点M(2,),
连接CE,∵若N是AC的中点,
∴S△ABN=S△CBN,S△AEN=S△CEN,
∴S△EBA=S△EBC,
设:S△BEM=S,∵CM=2BM,S△CBE=3S=S△EBA,
则S△BEM=S=S△ABM==;
(3)能,理由:
如图2,过点C′作x轴的平行线交过点O″与y轴的平行线于点H,
∵∠AOC=30°,∴∠O″C′H=30°,即:∠HC′O′=90°,
将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线BC的表达式为:,
设点C′(n,),则HC′=C′O″cos30°=,
HO″=,则点O″(,),
则O″C′2=3,AO″2=+2,AC′2=(n+1)2+
①当O″C′=AO″时,3=+,解得:;
②当O″C′=AC′时,无解;
③当AO″=AC′时,同理可得:;
故点C的坐标为(,)或(,)或(,).
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【题目】在△ABC中,AB=,BC=6,∠B=45°,D为BC边上一点将△ABC沿着过D点的直线折叠,使得点C落在AB边上,记CD=m,则AC=_____,m的取值范围是_____
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【题目】如图,在△ABD中,AB=AD,AB是⊙O的直径,DA、DB分别交⊙O于点E、C,连接EC,OE,OC.
(1)当∠BAD是锐角时,求证:△OBC≌△OEC;
(2)填空:
①若AB=2,则△AOE的最大面积为 ;
②当DA与⊙O相切时,若AB=,则AC的长为 .
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【题目】已知,如图,在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,AB=A'B',BC=B'C',AD=A'D'.求证:△ABC≌△A'B'C'.
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【题目】如图,点B是⊙O上一点,弦CD⊥OB于点E,过点C的切线交OB的延长线于点F,连接DF,
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠CFD=60°,求CD的长.
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【题目】在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动,拟开展活动项目为:剪纸,武术,书法,器乐,要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并对此进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整).
请解答下列问题:
(1)请补全条形统计图和扇形统计图;
(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少?
(3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人?
(4)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少?
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【题目】下列说法中正确的是( ).
A. “打开电视机,正在播放《动物世界》”是必然事件
B. 某种彩票的中奖概率为,说明每买1000张,一定有一张中奖
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为
D. 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平,宜采用抽样调查
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【题目】随着社会的快速发展,人们对生活质量的要求越来越高,净水器已经走入普通百姓家庭.某电器公司销售A、B两种型号的净水器,第一周售出A型号净水器4台,B型号净水器5台,收人20500元.第二周售出A型号净水器6台,B型号净水器10台,收人36000元.
(1)求A、B两种型号的净水器的销售单价;
(2)若该电器公司计划第三周销售这两种型号净水器20台,要使销售收入不低于45000元,则第三周至少要售出A种型号的净水器多少台?
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【题目】为了解学生参加户外活动的情况,某市教育行政部门对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查,并将调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答以下问题:
(1)这次抽样共调查了 名学生,并补全条形统计图;
(2)计算扇形统计图中表示户外活动时间0.5小时的扇形圆心角度数;
(3)求出本次调查学生参加户外活动的平均时间.
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