Question

8．如图，A（-5，0），B（3，0），抛物线如图所示．
（1）在抛物线上是否存在点C，D．使四边形ABCD为平行四边形？若存在，求出C，D的坐标；若不存在，说明理由．
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找到一点P，使△ADP的周长最小，求出点P的坐标．
（3）在（1）的条件下，在直线0C上是否存在点Q，使三角形CDQ是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质，可得CD与AB的关系，根据C与D关于y轴对称，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，线段的性质，可得AC与y轴的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：当DQ=CQ时，当DC=CQ时，当DC=DQ，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）四边形ABCD为平行四边形，得
CD∥AB，CD=AB=8．
C、D关于对称轴y轴对称，得
C横坐标为4，D的横坐标为-4，
当x=4时，y=$\frac{1}{2}$×4²=8，即C（4，8）；
当x=-4时，y=$\frac{1}{2}$×（-4）²=8，即D（-4，8）；
（2）如图，连接AC交y轴于P点，AD+AP+PD=AC+AD，
设AC的解析式为y=kx+b，
将A、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{4k+b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{8}{9}}\\{b=\frac{40}{9}}\end{array}\right.$，
直线AC的解析式为y=$\frac{8}{9}$x+$\frac{40}{9}$，
当x=0时，y=$\frac{40}{9}$，
即P（0，$\frac{40}{9}$）；
（3）OC的解析式为y=2x，设Q（m，2m），
①当DQ=CQ时，（m+4）²+（2m-8）²=（m-4）²+（2m-8）²，解得m=0，即Q₁（0，0）；
②当DC=CQ时，（m-4）²+（2m-8）²=8²，化简，的5m²-40m+16=0，解得m=4±$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
当m=4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，y=2m=8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，Q₂（4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；
当m=4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，y=8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，Q₃（4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；
③当DC=DQ时，（m+4）²+（2m-8）²=8²，化简，得5m²-24m+16=0，解得m=4，m=$\frac{4}{5}$，
当m=4时，y=2m=8，Q₄（4，8），
当m=$\frac{4}{5}$时，y=2m=$\frac{8}{5}$，Q₅（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
综上所述：Q₁（0，0）；
Q₂（4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；Q₃（4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；Q₄（4，8），Q₅（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了平行四边形的性质得出DC与AB的关系是解题关键；利用了线段垂直平分线的性质，线段的性质；利用勾股定理的出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．