【题目】如图,在直角坐标系中,直线AB与x、y轴分别交于点A(4,0)、B(0, )两点,∠BAO的角平分线交y轴于点D,点C为直线AB上一点以AC为直径的⊙G经过点D,且与x轴交于另一点E.
(1)求证:y轴是⊙G的切线.
(2)求出⊙G的半径;
(3)连结EC,求△ACE的面积.
【答案】
(1)解:连接GD,如图1,
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D,
∴∠GAD=∠DAO,
∵GD=GA,
∴∠GDA=∠GAD,
∴∠GDA=∠DAO,
∴GD∥OA,
∴∠BDG=∠BOA=90°,
∵GD为半径,
∴y轴是⊙G的切线
(2)解:∵A(4,0),B(0, ),
∴OA=4,OB= ,
在Rt△AOB中,由勾股定理可得:AB= ,
设半径GD=r,则BG= ﹣r,
∵GD∥OA,
∴△BDG∽△BOA,
∴ ,
r=4(
﹣r),
∴r=2.5
(3)解:连接CE,如图2,
∵AC是圆的直径,
∴∠AEC=∠BOE=90°,
∴CE∥OB,
∴△ACE∽△ABO,
∴ ,
设OE=a,则AE=4﹣a,
∴CE= (4﹣a),
∵CE2+AE2=AC2,
∴ (4﹣a)2+(4﹣a)2=25,
∴a=1或a=7(不合题意,舍去)
∴AE=3,由勾股定理可得CE=4,
∴△ACE的面积= AECE=
×3×4=6.
【解析】(1)连接DG,要证明y轴是⊙G的切线,只需要连接GD后证明GD⊥OB即可.(2)由(1)可知GD∥OA,则△BDG∽△BOA,设半径为r后,利用对应边的比相等列方程即可求出半径r的值.(3)连接CE,设OE=a,则AE=4﹣a,易证△ACE∽△ABO,由相似三角形的性质可得到CE和OE数量关系,再利用勾股定理可求出a的值,进而可求出数△ACE的面积.
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【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.
(1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是__________________;
(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线的交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?
(4)如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说理)
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【题目】甲、乙两所学校共82人参加文艺汇演(其中甲校人数多于乙校人数,且甲校人数小于80人),如果两所学校分别购买服装,共付款6060元.
购买服装套数 | 1~40 | 41~80 | 81套及81套以上 |
每套服装价格 | 80元 | 70元 | 60元 |
(1)如果甲、乙两所学校联合起来购买服装,那么比各自购买服装一共可以节约多少钱?
(2)甲、乙两所学校各有多少学生参加演出?
(3)如果乙学校单独购买时,服装厂每件服装获利60%,丙学校购买的服装比乙多15套,那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元?
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【题目】为响应国家要求中小学生每天锻炼1小时的号召,某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动,小明从学校同学中随机抽取一部分同学,对他们参加锻炼的情况进行了统计,并绘制了下面的统计图(1)和图(2),请根据所绘制的统计图回答下面问题:
(1)在此次调查中,小明共调查了位同学;
(2)请在图(1)中将“乒乓球”部分的图形补充完整;
(3)图(2)中表示“足球”的扇形的圆心角的度数为;
(4)如果该学校共有学生1200人,则参加“篮球”运动项目的人数约有人
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【题目】OB是∠AOC内部一条射线,OM是∠AOB平分线,ON是∠AOC平分线,OP是∠NOA平分线,OQ是∠MOA平分线,则∠POQ∶∠BOC=( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶5 D. 1∶4
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【题目】小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距2400m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家,小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回,设他们出发后经过t min时,小明与家之间的距离为s1m,小明爸爸与家之间的距离为s2m,图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象.
(1)求s2与t之间的函数关系式;
(2)小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?
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【题目】历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号
的形式来表示(
可用其它字母,但不同的字母表示不同的多项式),例如
,把
=某数时的多项式的值用
来表示.
例如时多项式
的值记为
,
已知,
(1)求的值
(2)若,求
的值
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