Question

【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式=________．

（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=________．

Answer 1

【答案】（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）1.

【解析】

（1）根据规律得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的值，即可推出

（a+b）5的值；

（2）根据规律得出原式=（2﹣1）5 ，求出即可．

（1.）∵（a+b）1=a+b， （a+b）2=a2+2ab+b2 ，

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 ，

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ，

∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ，

故答案为：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（2.）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=15=1（根据（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的逆运用得出的），

故答案为：1．