Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙P过原点O和y轴上的点A，点C（1，3）也在⊙P上，A、B两点的坐标分别为（0，2）和（-5，0），点P（2，a）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）探究以下两个论断的正确性：
①直线OP∥BC；
②BC与⊙P相切．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点P作PQ⊥y轴于点Q，由垂径定理知：点Q为AO中点，则可求得点P的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；
（2）①首先作PN⊥x轴于点N，设BC交y轴于点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，则可证得∠DBO=∠PON，则可得OP∥BC．
②首先连接CP并延长交x轴于点E，作CM⊥x轴于点M，则有CM∥PN，可得△CME∽△PNE，继而证得△BDO∽△BEC，可得∠BCE=∠BOD=90°，即可得BC与⊙P相切．

解答：解：（1）过点P作PQ⊥y轴于点Q，由垂径定理知：点Q为AO中点．
∵A（0，2），
∴OA=2，
即有OQ=1，
∴P（2，1）．
把x=2，y=1代入y=

k

x

(x＞0)中，
得k=2．
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

(x＞0)．

（2）①作PN⊥x轴于点N，设BC交y轴于点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，
据题意可得

k+b=3 -5k+b=0

，
解得

k= 1 2 b= 5 2

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x+

5

2

．
令x=0，有y=

5

2

．
∴D(0，

5

2

)，
即OD=

5

2

．
∵OB=5，ON=2，PN=1，
∴tan∠DBO=

OD

OB

=

1

2

=

PN

ON

=tan∠PON，
∴∠DBO=∠PON，
∴OP∥BC．

②连接CP并延长交x轴于点E，作CM⊥x轴于点M，则有CM∥PN，
∴△CME∽△PNE，
∴

PN

CM

=

EN

EM

=

EN

EN+MN

．
又∵C（1，3），
∴CM=2，OM=1，
∴MN=1．
即

EN

EN+1

=

1

3

，得EN=

1

2

，
∴BE=5+2+

1

2

=

15

2

而由勾股定理可求得，BC=3

5

，BD=

5

2

5

，
∴

BD

BE

=

BO

BC

=

5

3

，
∵∠CBE是公共角，
∴△BDO∽△BEC，
∴∠BCE=∠BOD=90°，
∴BC与⊙P相切．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、垂径定理、切线的判定以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．