【题目】如图，已知□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：
（1）是否存在时刻t，使点P在∠BCD的平分线上；
（2）设四边形ANPM的面积为S（cm），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
（4）求t为何值时，△ABN为等腰三角形．
备用图
【答案】(1)
;(2) 
（0＜t＜1）;(3)见解析;(4)
-1
【解析】（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， 由平行线的性质得到∠DPC=∠PCB，进而得到∠DPC=∠DCP， 由等角对等边得到DC=PD，代入求出即可；
（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积等于平行四边形ABCD的面积．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；
（4）分三种情况讨论：①AB=BN，②AB=AN，③BN=AN．
（1）当PC平分∠BCD时，则∠DCP=∠PCB， ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB， ∴∠DPC=∠DCP， ∴DC=PD．
∵DC=1，PD=3-3t， ∴3-3t=1，3t=2，t=．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MAP=∠QDP．
又∵∠MPA=∠QPD，∴△MAP∽△QDP．
∴
∴
，解得：AM=t．
∵AB=CD=1，∴MB=1+t．
∵MN⊥BC，∠B=45°，∴sin45°=
，∴MN=
．
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC又∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，
∴SANPM=S△MAP+S△NAP=
APOM+APON=AP（OM+ON）=APMN
=
=
∴S与t之间的函数关系式为
（0＜t＜1）；
（3）不存在．理由如下：
过A作AG⊥BC于G．
∵∠B=45°，AB=1，∴AG=
．
∵SANPM=SABCD，∴=
，∴
，解得：t=－2，t=1．
∵0＜t＜1，∴不存在在某一时刻t，使四边形ANPM与□ABCD面积相等．
(4)由（2）可知：AM=t，∴BM=1+t．
∵∠B=45°，∴MN=BN=
．AD∥BC，∴∠MAD=∠B=45°，∠AOM=∠BNM=90°．
∵AM=t， ∴AO=MO=
．
∵NO=AG=，∴AN=
．分三种情况讨论：
①当AB=BN时，=1，解得：
；
②当AB=AN时，=1，解得：t=1（舍去）；
③当BN=AN时，=时，解得：t=0 (舍)．
综上所述：当时，△ABN为等腰三角形．
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【题目】某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
购买数量低于5000块 | 购买数量不低于5000块 | |
红色地砖 | 原价销售 | 以八折销售 |
蓝色地砖 | 原价销售 | 以九折销售 |
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．
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【题目】如图为某种材料温度y（℃）随时间x（min）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．
（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？
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【题目】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和
矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的
距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数
关系
且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
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【题目】如图，已知
．
（1）若
，
平分
，求
的度数；
（2）若
平分，
平分
．
①求证
；
②将结论与条件互换位置，其他条件不变，组成一个新的命题，判断该命题的真假，并写出证明过程．
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【题目】在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.
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【题目】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，作EG平分∠AEF交AC于点G，在EF上取点D，使ED＝EA，连接DG并延长，交BA的延长于点P，连接PF．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）若ED＝DF，求∠B的大小．
（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG的面积为S，请直接写出△PEF的面积（用含S的式子表示）．
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【题目】如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
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